sin xの微分

math

\large(\sin x)^\prime=\cos x
を証明してみる。
\sin xの導関数は、
(\sin x)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}
になり、\sin(x+h)が、加法定理によって計算できるので、
\sin(x+h)=\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h
これを代入する。


\begin{eqnarray}(\sin x)^\prime&=&\lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}\\&=&\lim_{h\to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\cdot\sin h}{h}\end{eqnarray}


\cos hを\cos(\frac{h}{2}+\frac{h}{2})として考えると、
\cos(\frac{h}{2}+\frac{h}{2})=\cos^2\frac{h}{2}-\sin^2\frac{h}{2}
となり、\cos h-1は、1=\sin^2 x+\cos^2 xという公式により、
\begin{eqnarray}\cos h-1&=&\cos^2\frac{h}{2}-\sin^2\frac{h}{2}-1\\&=&\cos^2\frac{h}{2}-\sin^2\frac{h}{2}-(\sin^2 \frac{h}{2}+\cos^2 \frac{h}{2})\\&=&-2\cdot\sin^2\frac{h}{2}\end{eqnarray}
となる。


これをまとめると、
\begin{eqnarray}(\sin x)^\prime&=&\lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cdot(-2\cdot\sin^2\frac{h}{2})+\cos x\cdot\sin h}{h}\\&=&\lim_{h\to 0}\frac{-2\cdot\sin x\cdot\sin^2\frac{h}{2}}{h}+\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}\\&=&\lim_{h\to 0}-\sin x\cdot\sin\frac{h}{2}\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}+\cos x\frac{\sin h}{h}\end{eqnarray}


となる。
\lim_{h\to 0}\sin\frac{h}{2}=0は既知で、昨日の公式により、\lim_{h\to 0}\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1と\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1が求まるので、
\begin{eqnarray}(\sin x)^\prime&=&-\sin x\cdot 0\cdot 1+\cos x\cdot 1\\&=&\cos x\end{eqnarray}
となり、
\large(\sin x)^\prime=\cos x
が証明された。


……さすがにこれは間違ってないよなぁ(((( ;゜Д゜)))ガクガクブルブル


[追記]
一部間違ってましたよヽ(;´Д｀)ノ