内積

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\begin{eqnarray}\vec~A&=&(x_a,y_a)\\~\vec~B&=&(x_b,y_b)\end{eqnarray}
としたときに、その内積として、
\vec~A\cdot\vec~B=x_a\cdot~x_b+y_a\cdot~y_b
\vec~A\cdot\vec~B=|\vec~A|\cdot|\vec~B|\cdot\cos\theta
の２つが公式として存在しているが、その２式が等しいことを証明してみる。




\vec~Aの角度を\alpha、\vec~Bの角度を\betaとすれば、
\cos\theta=\cos(|\alpha-\beta|)
となり、
\cos(\alpha-\beta)=\cos(\beta-\alpha)
なので、加法定理により、
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta
となる。


\begin{eqnarray}\cos\alpha&=&\frac{x_a}{|\vec~A|}\\~\cos\beta&=&\frac{x_b}{|\vec~B|}\\~\sin\alpha&=&\frac{y_a}{|\vec~A|}\\~\sin\beta&=&\frac{y_b}{|\vec~B|}\end{eanarray}
なので、それぞれを代入して整理すると、
\begin{eqnarray}|\vec~A|\cdot|\vec~B|\cdot\cos\theta&=&|\vec~A|\cdot|\vec~B|(\frac{x_a}{|\vec~A|}\cdot\frac{x_b}{|\vec~B|}+\frac{y_a}{|\vec~A|}\cdot\frac{y_b}{|\vec~B|})\\&=&\frac{|\vec~A|\cdot|\vec~B|}{|\vec~A|\cdot|\vec~B|}\cdot~x_a\cdot~x_b+\frac{|\vec~A|\cdot|\vec~B|}{|\vec~A|\cdot|\vec~B|}\cdot~y_a\cdot~y_b\\&=&x_a\cdot~x_b+y_a\cdot~y_b\end{eqnarray}
となり、２式が等しいことが証明された。



……てか|\vec~A|を\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2}に分解しなくても計算出来るのね……ちょっと拍子抜け（;´Д｀）