線形近似

math

3$f(x)=x^2の0\leq~x\leq~tの範囲を、3$g(x)=ax+bの式で近似するとどんな式になるんだろう？
ということでやってみる。


最小二乗法により、
\frac{1}{2}\Bigint_0^t((f(x)-g(x))^2)dx
が最小となるようなaとbを見つければ良い。


f(x)=x^2とg(x)=ax+bを代入すると、
\frac{1}{2}\Bigint_0^t((x^2-ax-b)^2)dx
となる。
で、この式をJとする。


Jを最小とするためにはaとbでそれぞれ偏微分して0になればいいらしいので、
3$\begin{array}\frac{\delta~J}{\delta~a}&=&0\\~\frac{\delta~J}{\delta~b}&=&0\end{array}
これを解く。


とりあえずJを整理すると、
3$\begin{array}J&=&\Bigint_0^t(x^4-2ax^3+a^2~x^2-2bx^2+2abx+b^2)dx\\&=&\frac{t^5}{5}-2a\frac{t^4}{4}+a^2\frac{t^3}{3}-2b\frac{t^3}{3}+2ab\frac{t^2}{2}+b^2~t\end{array}
となる。
これをaで偏微分すると、
3$\begin{array}-\frac{t^4}{2}+&a\frac{2t^3}{3}&~&+&bt^2&=&0\\&a\frac{2t^3}{3}&~&+&bt^2&=&\frac{t^4}{2}\\&4at^3&~&+&6bt^2&=&3t^4\end{array}
となり、同様にbで偏微分すると、
3$\begin{array}-\frac{2t^3}{3}+&at^2&~&+&2bt&=&0\\&at^2&~&+&2bt&=&\frac{2t^3}{3}\\&3at^3&~&+&6bt^2&=&2t^4\end{array}
となる。


この２式から連立してaとbを求めると、
3$\begin{array}\{\array{rcl$a&=&t\\b&=&-\frac{1}{6}t^2}\end{array}
となり、3$f(x)=x^2の0\leq~x\leq~tの範囲を、3$g(x)=ax+bの式で近似すると、
3$g(x)=tx-\frac{1}{6}t^2
となる。


この式から何か考察したいけど、何も思い浮かばない（;´Д｀）